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例1  已知都是實(shí)數(shù)，求證

    思路分析  從題目的外表形式觀察到，要證的

結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而

左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，

可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。

證明  不妨設(shè)如圖1－2－1所示，

則

     在中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：

      當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時(shí)，等號(hào)成立。

     因此，

     思維障礙  很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒(méi)能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。

例2        已知，試求的最大值。

解  由  得

又

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為

思路分析  要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉�二次函�?shù)然后求極值點(diǎn)的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。

思維障礙    大部分學(xué)生的作法如下：

由 得

當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為

這種解法由于忽略了這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，

又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。

有些問(wèn)題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。

例3        已知二次函數(shù)滿足關(guān)系

，試比較與的大小。

思路分析  由已知條件可知，在與左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說(shuō)明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又由

已知條件知它的開(kāi)口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致

圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。

解  （如圖1－2－2）由，

知是以直線為對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上的拋物線

它與距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。

思維障礙  有些同學(xué)對(duì)比較與的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)的表達(dá)式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒(méi)有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問(wèn)題，對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。

（2）   聯(lián)想能力的訓(xùn)練

例4        在中，若為鈍角，則的值

(A) 等于1        (B)小于1         (C) 大于1       (D) 不能確定

思路分析  此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面解法。

解  為鈍角，.在中

且

故應(yīng)選擇（B）

思維障礙  有的學(xué)生可能覺(jué)得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。

例5        若

思路分析  此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證題。

證明  當(dāng)時(shí)，等式  

可看作是關(guān)于的一元二次方程有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有：

         即  

若，由已知條件易得  即,顯然也有.

例6        已知均為正實(shí)數(shù),滿足關(guān)系式,又為不小于的自然數(shù)，求證:

思路分析  由條件聯(lián)想到勾股定理,可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。

證明  設(shè)所對(duì)的角分別為、、則是直角，為銳角，于是

      且

當(dāng)時(shí)，有

于是有

即     

從而就有   

思維阻礙  由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來(lái)。

（3）   問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練

我們所遇見(jiàn)的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問(wèn)題很快得到解決，所以，進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。

1  轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目

    例11  已知求證、、中至少有一個(gè)等于1。

思路分析  結(jié)論沒(méi)有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。、、中至少有一個(gè)為1，也就是說(shuō)中至少有一個(gè)為零，這樣，問(wèn)題就容易解決了。

證明  

于是 

  中至少有一個(gè)為零，即、、中至少有一個(gè)為1。

思維障礙  很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問(wèn)題變?yōu)槭煜��?wèn)題。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。

例12        直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，問(wèn)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到直線的距離。

思路分析  從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線

                             （1）

是，又從已知條件可得橢圓的方程為

                     （2）

因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組（1）、（2）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求的取值范圍。將（2）代入（1）得：

                                         （3）

確定的范圍，實(shí)際上就是求（3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組：

在的條件下，得

    本題在解題過(guò)程中，不斷地把問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：解方程組和不等式組的問(wèn)題。

2  逆向思維的訓(xùn)練

逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問(wèn)題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到解決。

例13  已知函數(shù)，求證、、中至少有一個(gè)不小于1.

思路分析  反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。

證明  （反證法）假設(shè)原命題不成立，即、、都小于1。

則              

①＋③得         ，

與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即、、中至少有一個(gè)不小于1。

    3  一題多解訓(xùn)練

    由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問(wèn)題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。

例14  已知復(fù)數(shù)的模為2，求的最大值。

解法一（代數(shù)法）設(shè)

解法二（三角法）設(shè)

則

解法三（幾何法）

如圖1－2－3 所示，可知當(dāng)時(shí)，

解法四（運(yùn)用模的性質(zhì)）

而當(dāng)時(shí)，

解法五（運(yùn)用模的性質(zhì)）

又