2008高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及全解全析
一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，
1．復(fù)數(shù)等于( )
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
【答案】D
【解析】由,易知D正確.
2．“成立”是“成立”的( )
A．充分不必要條件 B.必要不充分條件
C．充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由得，由得，所以易知選B.
3.已知變量x、y滿足條件則的最大值是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【解析】如圖得可行域為一個三角形，其三個頂點
分別為代入驗證知在點
時,最大值是
故選C.
4.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
解得=2, 所以選B.
5.設(shè)有直線m、n和平面、,下列四個命題中，正確的是( )
A.若m∥,n∥,則m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,則∥
C.若，m,則m
D.若，m，m,則m∥
【答案】D
【解析】由立幾知識,易知D正確.
6.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是( )
A.1 B. C. D.1+
【答案】C
【解析】由,
故選C.
7.設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且
則與( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
【答案】A
【解析】由定比分點的向量式得:
以上三式相加得
所以選A.
8.若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標(biāo)為的點到右焦點的距離
大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
【答案】B
【解析】或
(舍去),故選B.
9.長方體ABCD－A1B1C1D1的8個頂點在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,
則頂點A、B間的球面距離是( )
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)
則
故選C.
10.設(shè)［x］表示不超過x的最大整數(shù)（如［2］=2, ［］=1）,對于給定的nN*,
定義x,則當(dāng)x時，函數(shù)的
值域是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)x時，當(dāng)時， 所以;
當(dāng)時，當(dāng)時，
故函數(shù)的值域是.選D.
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在對應(yīng)題號后的橫線上。
11..
【答案】
【解析】
12.已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F,右準(zhǔn)線為,離心率e=
過頂點A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于 .
【答案】
【解析】
13.設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過點(1,2),
則函數(shù)的圖象一定過點 .
【答案】(-1,2)
【解析】由函數(shù)的圖象過點(1,2)得: 即函數(shù)過點 則其反函數(shù)過點所以函數(shù)的圖象一定過點
14.已知函數(shù)
（1）若a＞0,則的定義域是 ;
(2) 若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】 ,
【解析】（1）當(dāng)a＞0時，由得,所以的定義域是;
(2) 當(dāng)a＞1時，由題意知;當(dāng)0<a<1時，為增函數(shù),不合;
當(dāng)a<0時，在區(qū)間上是減函數(shù).故填.
15.對有n(n≥4)個元素的總體進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個子總體
和 (m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2),再從
每個子總體中各隨機(jī)抽取2個元素組成樣本.用表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣
本中的概率，則= ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于 .
【答案】 , 6
【解析】第二空可分:
①當(dāng) 時, ;
②當(dāng) 時, ;
③當(dāng)時, ;
所以 也可用特殊值法或i和j同時出現(xiàn)6次.
三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試
合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求：
（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率;
（Ⅱ）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解: 用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知A，B，C相互獨立，
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.
（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率是
（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3.
＝
＝
=
=
所以， 的分布列是
0
1
2
3
P
的期望
17.（本小題滿分12分）
如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.
解: 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,
所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以
PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.
過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.
則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是
解法二: 如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)
各點的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2）,
（Ⅰ）因為，
平面PAB的一個法向量是，
所以共線.從而BE⊥平面PAB.
又因為平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
設(shè)是平面PBE的一個法向量，則由得
所以
設(shè)是平面PAD的一個法向量，則由得
所以故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是
18.（本小題滿分12分）
數(shù)列
(Ⅰ)求并求數(shù)列的通項公式；
(Ⅱ)設(shè)證明：當(dāng)
解: (Ⅰ)因為所以
一般地，當(dāng)時，
＝，即
所以數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此
當(dāng)時，
所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此
故數(shù)列的通項公式為
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
②
①-②得，
所以
要證明當(dāng)時，成立，只需證明當(dāng)時，成立.
證法一
(1)當(dāng)n = 6時，成立.
(2)假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即
則當(dāng)n=k+1時，
由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時，.即當(dāng)n≥6時，
證法二
令，則
所以當(dāng)時，.因此當(dāng)時，
于是當(dāng)時，
綜上所述，當(dāng)時，
19.（本小題滿分13分）
在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達(dá)觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=，)且與點A相距10海里的位置C.
（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;
（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷
它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由.
解: （I）如圖，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為（海里/小時）.
（II）解法一 如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC與x軸的交點為D.
由題設(shè)有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.
又點E（0，-55）到直線l的距離d=
所以船會進(jìn)入警戒水域.
解法二: 如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==.
從而
在中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.
過點E作EP BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.
在Rt中，PE=QE?sin
=
所以船會進(jìn)入警戒水域.
20.（本小題滿分13分）
若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與
x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時，點P（x,0）
存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.
（I）證明：點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦” 中的中點的橫坐標(biāo)相同；
(II) 試問：點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由.
解: （I）設(shè)AB為點P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點A、B的坐標(biāo)分別是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1, y22=4x2,
兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因為x1x2,所以y1+y20.
設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（xm, ym）,則
k=.從而AB的垂直平分線l的方程為
又點P（x0,0）在直線上，所以
而于是故點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標(biāo)都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中，
整理得 （?）
則是方程（?）的兩個實根，且
設(shè)點P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則
因為0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是設(shè)t=,則t(0,4x0-8).
記l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即=2(x0-3)時,
l有最大值2(x0-1).
若2<x0<3,則2(x0-3)0,g(t)在區(qū)間（0，4 x0-8）上是減函數(shù)，
所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.
綜上所述，當(dāng)x0>3時，點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值
為2（x0-1）；當(dāng)2< x03時，點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值.
21.（本小題滿分13分）
已知函數(shù)
(I) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）.
求a的最大值.
解: （Ⅰ）函數(shù)的定義域是，
設(shè)則
令則
當(dāng)時， 在（-1，0）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞0時，在上為減函數(shù).
所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，
函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).
于是當(dāng)時，
當(dāng)x＞0時，
所以，當(dāng)時，在（-1，0）上為增函數(shù).
當(dāng)x＞0時，在上為減函數(shù).
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為.
（Ⅱ）不等式等價于不等式由知，
設(shè)則
由（Ⅰ）知，即
所以于是G(x)在上為減函數(shù).
故函數(shù)G（x）在上的最小值為
所以a的最大值為
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