清華附中2006-2007高三第一次月考試題
數(shù)學(xué) （理科）
一、選擇題（每小題5分，共40分）
1．如果集合P = {x | | x | > 2}，集合T = {x | 3x > 1}，那么，集合P∩T等于
A．{x | x > 0} B．{x | x > 2}
C．{x | x < - 2或x > 0} D．{x | x < - 2或x > 2}
2．已知函數(shù)
A．- 1 B．5 C．- 8 D．3
3．映射f：A→B，如果滿足集合B中的任意一個(gè)元素在A中都有原象，則稱為“滿射”．已知集合A中有4個(gè)元素，集合B中有3個(gè)元素，那么從A到B的不同滿射的個(gè)數(shù)為
A．24 B．6 C． 36 D．72
4．命題p：若
的充分而不必要條件．命題q：函數(shù)
的定義域是
則
A．“p或q”為假 B．“p且q”為真 C．p真q假 D．p假q真
5．已知R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集.設(shè)函數(shù)
，則
A．函數(shù)
的圖象是兩條平行直線 B．
C．函數(shù)
恒等于0 D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒等于0
6．設(shè)函數(shù)
給出下列四個(gè)命題：
①
時(shí)，
是奇函數(shù)
②
時(shí)，方程
只有一個(gè)實(shí)根
③的圖象關(guān)于
對(duì)稱
④方程至多兩個(gè)實(shí)根．
其中正確的命題是
A．①、④ B．①、③ C．①、②、③ D．①、②、④
7．將一張畫(huà)了直角坐標(biāo)系且兩軸的長(zhǎng)度單位相同的紙折疊一次，使點(diǎn)（2，0）與點(diǎn)（- 2，4）重合，若點(diǎn)（7，3）與點(diǎn)（m ,n）重合，則m+n的值為
A．4 B．- 4 C．10 D．- 10
8．設(shè)
、
，集合
，
，若
為單元素集，則
值的個(gè)數(shù)是
A．
B．
C．
D．
二、填空題（每小題5分，共30分）
9．“
”是“
且
”的
條件．
10．設(shè)函數(shù)
,若
，
的反函數(shù)
，則
的值為
．
11．已知函數(shù)
連續(xù)，則a的值為
．
12．如果曲線
與直線y = x相切于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是
，a =
．
13．如果函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)于m，n Î R，恒有f（m + n）= f（m）+ f（n） - 6，且f（- 1）是不大于5的正整數(shù)，當(dāng)x > - 1時(shí)，f（x）> 0．那么具有這種性質(zhì)的函數(shù)f（x） = （注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)函數(shù)即可，不必考慮所有可能的情形）
14．已知
，拋物線
與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均小于1，則
的最小值為
．
三、解答題（共80分）
15．（12分）
已知函數(shù)
．若函數(shù)的定義域和值域都是[1，a]（a>1），求a的值．
16．（13分）
某城市在發(fā)展過(guò)程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6點(diǎn)到中午12點(diǎn)，車輛通過(guò)該市某一路段的用時(shí)y（分鐘）與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：
．求從上午6點(diǎn)到中午12點(diǎn)，通過(guò)該路段用時(shí)最多的時(shí)刻．
17．（13分）
已知命題p：方程a2x2 + ax - 2 =
0在[- 1，1]上有解；命題q：有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x2 + 2ax +
18．（14分）
設(shè)P（x + a，y1），Q（x，y2），R（2 + a，y3）是函數(shù)f（x） = 2x + a 
的函數(shù)圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足y1 + y3 = 2y2的實(shí)數(shù)x有且只有一個(gè)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（14分）
已知函數(shù)
．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2） 若函數(shù)f（x）的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且
，已知a1 = 4，求證：an ³ 2n + 2；
（3）在（2）的條件下，試比較
與
的大小，并說(shuō)明你的理由．
20．（14分）
已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|
x ≠ kπ，k ∈ Z}，且對(duì)于定義域內(nèi)的任何x、y，有f（x - y） = 成立，且f（a） = 1（a為正常數(shù)），當(dāng)0 < x <
（1）判斷f（x）奇偶性；
（2）證明f（x）為周期函數(shù)；
（3）求f （x）在[
一、選擇題（每小題5分，共40分）
1－8．BACDD CCD
二、填空題（每小題5分，共30分）
9． 必要非充分
10． 4
11． 3
12．（e，e） 
13． x + 6 說(shuō)明：f（x） = ax + 6 （a = 1，2，3，4，5）均滿足條件．
14． 10 ．
三、解答題（共80分）
15．（12分）
．
16．（13分）
（1）當(dāng)6≤t<9時(shí).
（2分）
（3分）
（5分）
（分鐘）（6分）
（2）
∴
（分鐘）（8分）
（3）
∴
（分鐘）
綜上所述，上午8時(shí)，通過(guò)該路段用時(shí)最多，為18.75分鐘。（13分）
17．（13分）
，∴
（4分）
∴
（6分）
“有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足
”，即拋物線
與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴
，∴
（10分）
∴
∴
（13分）
18．（14分）
19．（14分）
（1）
，∴
．
要使函數(shù)f（x）在定義域
內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在內(nèi)
恒大于0或恒小于0，
當(dāng)
在內(nèi)恒成立；
當(dāng)
要使
恒成立，則
，解得
，
當(dāng)
要使
恒成立，則
，解得
，
所以
的取值范圍為或或
．
根據(jù)題意得：
，∴
于是
，
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)
，不等式成立；
假設(shè)當(dāng)
時(shí)，不等式
成立，即
也成立，
當(dāng)
時(shí)，
，
所以當(dāng)，不等式也成立，
綜上得對(duì)所有
時(shí)5，都有
．
（3） 由（2）得
，
于是
，
所以
，
累乘得：
，
所以
．
20．（14分）
（1）∵定義域{x| x ≠ kπ，k∈Z }關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又f（- x） = f [（a - x） - a]= = = = = = - f （x），
對(duì)于定義域內(nèi)的每個(gè)x值都成立
∴ f（x）為奇函數(shù)（4分）
（2）易證：f（x + 4a） = f（x），周期為
（3）f（2a）= f（a + a）= f [a -（- a）]= = = 0，
f（3a）=
f（
先證明f（x）在[
設(shè)
∴ f（x - 2a）= = - > 0，
∴ f（x）< 0（10分）
設(shè)2a < x1
< x2 <
則0 < x2 - x1 < a，∴ f（x1）< 0 f（x2）< 0 f（x2 - x1）> 0，
∴ f（x1）- f（x2）= > 0，
∴ f（x1）> f（x2），
∴ f（x）在[
∴ f（x）在[
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