Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），若對任意的n∈N^*，都有a_n²+a_n+1²≥20n-15成立，則a₁的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），得a_n+2+a_n+1=4n+1，兩式相減得出a_n+2-a_n=4．分n為奇數(shù)、n為偶數(shù)兩種情況進行討論，可分別求得a_n，a_n+1，進而可表示出不等式a_n²+a_n+1²≥20n-15，分離出a₁后化為最值可解．

解答： 解：∵a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），
∴a_n+2+a_n+1=4n+1，
兩式相減得出a_n+2-a_n=4．
（1）當n為奇數(shù)時，令n=2k-1（k∈N^*），
則有a_2k+1-a_2k-1=4．
∴a_n=a_2k-1=a₁+（k-1）×4=2n+a₁-2．
又由已知a_n+1+a_n=4n-3，
∴a_n+1=2n-a₁-1，
則a_n²+a_n+1²≥20n-15，即為(2n+a1-2)2+(2n-a1-1)2≥20n-15，
整理可得a12-a1≥-4(n-2)2+6，
而-4（n-2）²+6≤6，
∴a12-a1≥6，解得a₁≤-2或a₁≥3①；
（2）當n為偶數(shù)時，令n=2k（k∈N^*），則有a_2k+2-a_2k=4．
由a₂+a₁=1，得a₂=1-a₁，
∴a_n=a_2k=a₂+（k-1）×4=2n-a₁-3．
由a_n+1+a_n=4n-3，得a_n+1=2n+a₁，
則a_n²+a_n+1²≥20n-15，即為(2n-a1-3)2+(2n+a1)2≥20n-15，
整理，得a12+3a1≥-4(n-2)2+4，
而-4（n-2）+4≤4，
∴a12+3a1≥4，解得a₁≤-4或a₁≥1②；
綜上所述，聯(lián)立①②，解得a₁的取值范圍是a₁≤-4或a₁≥3．
故答案為：a₁≤-4或a₁≥3．

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、等差數(shù)列及不等式恒成立，考查分類與整合思想、轉(zhuǎn)化思想．思維靈活性大，邏輯關系較復雜．