Question

設各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{a_n}，滿足a₅₄=2014，且存在正整數(shù)k，使a₁，a₅₄，a_k成等比數(shù)列，則公差d的所有可能取值之和為

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質,等差數(shù)列的性質

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a₅₄=2014，可得a₁+53d=2014，即

a1

53

+d=38，d＞0，且為正整數(shù)，可得a₁是53的倍數(shù)，a₁，a₅₄，a_k成等比數(shù)列，則a₅₄²=a₁a_k=2×2×19×19×53×53，分類討論，可得結論．

解答： 解：∵a₅₄=2014，∴a₁+53d=2014，
∴

a1

53

+d=38，d＞0，且為正整數(shù)，
∴a₁是53的倍數(shù)，
∵a₁，a₅₄，a_k成等比數(shù)列，
∴a₅₄²=a₁a_k=2×2×19×19×53×53
（1）若a₁=53，53+53d=2014，d=37，
（2）若a₁=2×53，106+53d=2014，d=36，
（3）若a₁=4×53，212+53d=2014，d=34
（4）a₁=1007，1007+53d=2014，53d=1007，d=19
∴公差d的所有可能取值之和為37+36+34+19=126．
故答案為：126．

點評：本題考查等比數(shù)列的性質，考查分類討論的數(shù)學思想，確定a₁是53的倍數(shù)是關鍵．