Question

圓x²+y²=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1過點(diǎn)P且離心率為

3

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若橢圓C₂過點(diǎn)P且與C₁有相同的焦點(diǎn)，直線l過C₂的右焦點(diǎn)且與C₂交于A，B兩點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，求l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得切線的斜率和切線的方程，即可得出三角形的面積，利用基本不等式的性質(zhì)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得橢圓C₂的焦點(diǎn)．可設(shè)橢圓C₂的方程為

x2

3+ b 2 1

+

y2

b 2 1

=1（b₁＞0）．把P的坐標(biāo)代入即可得出方程．由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+

3

，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），則切線的斜率為-

x0

y0

，
可得切線的方程為y-y0=-

x0

y0

(x-x0)，化為x₀x+y₀y=4．
令x=0，可得y=

4

y0

；令y=0，可得x=

4

x0

．
∴切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形的面積S=

1

2

•

4

y0

•

4

x0

=

8

x0y0

．
∵4=

x

2 0

+

y

2 0

≥2x0y0，當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=

2

時(shí)取等號(hào)．
∴S≥

8

2

=4．此時(shí)P(

2

，

2

)．
由題意可得

2

a2

-

2

b2

=1，e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

3

，解得a²=1，b²=2．
故雙曲線C₁的方程為x2-

y2

2

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知雙曲線C₁的焦點(diǎn)（±

3

，0），即為橢圓C₂的焦點(diǎn)．
可設(shè)橢圓C₂的方程為

x2

3+ b 2 1

+

y2

b 2 1

=1（b₁＞0）．
把P(

2

，

2

)代入可得

2

3+ b 2 1

+

2

b 2 1

=1，解得

b

2 1

=3，
因此橢圓C₂的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．
由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+

3

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x=my+ 3 x2+2y2=6

，化為(m2+2)y2+2

3

my-3=0，
∴y1+y2=-

2 3 m

2+m2

，y1y2=

-3

2+m2

．
∴x₁+x₂=m(y1+y2)+2

3

=

4 3

m2+2

，
x₁x₂=m2y1y2+

3

m(y1+y2)+3=

6-6m2

m2+2

．

AP

=(

2

-x1，

2

-y1)，

BP

=(

2

-x2，

2

-y2)，
∵

AP

⊥

BP

，∴

AP

•

BP

=0，
∴x1x2-

2

(x1+x2)+y1y2-

2

(y1+y2)+4=0，
∴2m2-2

6

m+4

6

-11=0，解得m=

3 6

2

-1或m=-(

6

2

-1)，
因此直線l的方程為：x-(

3 6

2

-1)y-

3

=0或x+(

6

2

-1)y-

3

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、切線的斜率和切線的方程、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了轉(zhuǎn)化和化歸能力，考查了解決問題的能力，屬于難題．