Question

將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax-by=0與圓（x-2）²+y²=2沒(méi)有公共點(diǎn)的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)題意，將一顆骰子先后投擲兩次，所有的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組（a，b）有36種情況．若直線ax+by=0與圓（x-2）²+y²=2有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立不等式解出a≤b，列舉出滿足條件的（a，b）有15種．再利用古典概型公式加以計(jì)算，即可得到所求的概率．

解答： 解：先后投擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組（a，b）有（1，1）、（1，2）、
（1，3）、…、（6，6），共36種，
其中滿足直線ax-by=0與圓（x-2）²+y²=2有公共點(diǎn)，
即圓心（2，0）到直線的距離小于或等于半徑r，可得，

2a

a2+b2

≤

2

化簡(jiǎn)得a≤b，滿足條件的（a，b）有數(shù)組情況如下：
①a=1時(shí)，b=1、2、…、6，共6種情況；②a=2時(shí)，b=2、3、…、6，共5種情況；
③a=3時(shí)，b=3、4、…、6，共4種情況；④a=4時(shí)，b=4、5、6，共3種情況；
⑤a=5時(shí)，b=5、6，共2種情況；⑥a=6時(shí)b=6，1種情況．
總共有6+5+4+3+2+1=21種，
則不相交的有36-21=15種
因此，所求的概率P舉出滿足條件的（a，b）有15種．
所以直線ax-by=0與圓（x-2）²+y²=2沒(méi)有公共點(diǎn)的概率P=

15

36

=

5

12

，
故答案為：

5

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，求直線與圓有沒(méi)有公共點(diǎn)的概率．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式和古典概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題