Question

【題目】已知．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，求出解為，從而可探究、隨自變量的變化，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；

（2）由（1）可知，記，結(jié)合基本不等式可證明，從而可知在上單調(diào)遞增，則可知，結(jié)合 的單調(diào)性可證明.

解：（1），記，則．

由， ，解得．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)即單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)即單調(diào)遞增．

（2）由題意知有兩個(gè)零點(diǎn)，為，不妨設(shè)，

由（1）可知，．所以.

記

，則，因?yàn)?/span>，

由均值不等式可得，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以在上單調(diào)遞增．

由，可得，即，

因?yàn)?/span>為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，

又，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，即．