Question

【題目】已知.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)，時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

（3）見解析.

【解析】

（1）函數(shù)在區(qū)間有極值.在上有根，結(jié)合條件由函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)有唯一極值點(diǎn) ，由此得到的取值范圍；
（2）構(gòu)造函數(shù)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解 有實(shí)數(shù)解
（法二）由分離系數(shù)，

構(gòu)造函數(shù) ，由題意可得， ．
（3）結(jié)合函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)可得， ，利用該結(jié)論分別把 代入疊加可證．

解：（1），

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù) ，

當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，而函數(shù)在區(qū)間有極值.

，解得；

（2）由（1）得的極大值為，令，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，又因為方程有實(shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.

（另解：，，

令 ，所以 ，當(dāng)時，

當(dāng)時，；當(dāng)時，

當(dāng)時，函數(shù)取得極大值為

當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時，.）

（3）函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，而，

，即

，

即，而，

結(jié)論成立.