Question

【題目】已知函數(shù)， （其中， ），且函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象在點處的切線重合．

（1）求實數(shù)， 的值；

（2）記函數(shù)，是否存在最小的正常數(shù)，使得當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立？給出你的結(jié)論，并說明結(jié)論的合理性．

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) 題目所要求的最小的正常數(shù)就是，即存在最小正常數(shù)，當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立．

【解析】試題分析：（1）∵，則在點處切線方程為．

又，則在點處切線方程為．兩直線重合所以得解（2）根據(jù)（1）知，則， ，即，即，構(gòu)造函數(shù)，則問題就是求恒成立，進行求導(dǎo)研究單調(diào)性得在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，而， ， ，

則函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，設(shè)為和（），

從而可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， ，

當時， ；當時， ．還有是函數(shù)的極大值，也是最大值．題目要找的，理由如下;

試題解析：

（1）∵，則在點處切線方程為．

又，則在點處切線方程為．　

由解得， ．

（2）根據(jù)（1）知，則，

，即，即，

構(gòu)造函數(shù)，則問題就是求恒成立，

，令，

則，顯然是減函數(shù)，又，所以在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù)，

而，

， ，

則函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，設(shè)為和（），

并且有在區(qū)間和上， ，即；

在區(qū)間上， ，即．

從而可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， ，

當時， ；當時， ．

還有是函數(shù)的極大值，也是最大值．題目要找的，理由：

當時，對于任意非零正數(shù)， ，而在上單調(diào)遞減，所以一定恒成立，即題目要求的不等式恒成立；

當時，取，顯然，題目要求的不等式不恒成立，說明不能比小；

綜上可知，題目所要求的最小的正常數(shù)就是，即存在最小正常數(shù)，當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立．