Question

【題目】如圖，四邊形與均為菱形， ，且.

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形性質(zhì)得，設(shè)與相交于點(diǎn)，由等腰三角形性質(zhì)得,再根據(jù)線面垂直判定定理得平面；（2）先證明平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面法向量。利用向量數(shù)量積求出向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系確定直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，

∵四邊形為菱形，∴，且為中點(diǎn)，

∵，∴,

又，∴平面.

（2）連接，∵四邊形為菱形，且，∴為等邊三角形，

∵為中點(diǎn)，∴，又，∴平面.

∵兩兩垂直，∴建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，∵四邊形為菱形， ，∴.

∵為等邊三角形，∴.

∴，

∴.

設(shè)平面的法向量為，則，

取，得.

設(shè)直線與平面所成角為，

則.