Question

【題目】正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 已知對于任意的n∈Z+ ， 均有Sn與1正的等比中項(xiàng)等于an與1的等差中項(xiàng)．
（1）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn= ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得： ，故 …①，又 …②，

②﹣①得： ，整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0．

由已知an＞0，∴an+1+an＞0，故an+1﹣an﹣2=0，

即an+1﹣an=2，所以數(shù)列{an}為公差d=2的等差數(shù)列．

又由 可得：a1=1，∴an=1+（n﹣1）2=2n﹣1

（2）解：由題意可得 ，

∴Tn=b1+b2+…+bn= [1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = [1﹣ ]＜

【解析】（1）由條件等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的定義，求得：an+1﹣an=2，可得數(shù)列{an}為公差d=2的等差數(shù)列，再結(jié)合a1=1，求得{an}的通項(xiàng)公式．（2）先化簡數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)法求得它的前n項(xiàng)和，可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．