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        1. 在平面直角坐標(biāo)系中,已知
          a
          =(2mx,y-1),
          b
          =(2x,y+1)
          ,其中m∈R,
          a
          b
          ,動點(diǎn)M(x,y)的軌跡為C.
          (1)求軌跡C的方程,并說明該軌跡方程所表示曲線的形狀;
          (2)當(dāng)m=
          1
          8
          時,設(shè)過定點(diǎn)P(0,2)的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.
          (1)因?yàn)?span >
          a
          b
          ,
          a
          =(2mx,y-1),
          b
          =(2x,y+1)

          所以
          a
          b
          =4mx2+y2-1=0
          ,即4mx2+y2=1..(2分)
          當(dāng)m=0時,方程表示兩直線,方程為y=±1;
          當(dāng)m=
          1
          4
          時,方程表示的是圓
          當(dāng)m>0且m≠
          1
          4
          時,方程表示的是橢圓;
          當(dāng)m<0時,方程表示的是雙曲線.…..(6分)
          (2)當(dāng)m=
          1
          8
          時,軌跡C的方程為
          x2
          2
          +y2=1
          ,
          顯然直線l的斜率是存在的,可設(shè)直線l:y=kx+2,A(x1,y2),B(x2,y2),…..(7分)
          聯(lián)立
          y=kx+2
          x2
          2
          +y2=1
          ,消去y,整理得:(2k2+1)x2+8kx+6=0
          x1+x2=-
          8k
          2k2+1
          ,x1x2=
          6
          2k2+1
          …..(9分)
          由△=(8k)2-4(2k2+1)×6>0,即2k2-3>0得:k<-
          6
          2
          k>
          6
          2
          ①…..(10分)
          y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=
          6k2
          2k2+1
          -
          16k2
          2k2+1
          +4=
          4-2k2
          2k2+1
          …..(11分)
          ∵∠AOB為銳角,
          ∴cos∠AOB>0,
          OA
          OB
          >0,
          OA
          OB
          =x1x2+y1y2=
          6
          2k2+1
          +
          4-2k2
          2k2+1
          =
          10-2k2
          2k2+1
          >0

          即k2-5<0,
          -
          5
          <k<
          5
          …..(13分)
          故由①、②得-
          5
          <k<-
          6
          2
          6
          2
          <k<
          5
          …..(14分)
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線W的頂點(diǎn)在原點(diǎn),其焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,過點(diǎn)F作x軸的垂線與W交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在第一象限,|AB|=8,過點(diǎn)B作直線BC與x軸交于點(diǎn)T(t,0)(t>2),與拋物線交于點(diǎn)C.
          (1)求拋物線W的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (2)若t=6,曲線G:x2+y2-2ax-4y+a2=0與直線BC有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)若|OB|2+|OC|2≤|BC|2,求△ABC的面積的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知橢圓C:3x2+y2=12,直線x-y-2=0交橢圓C于A,B兩點(diǎn).
          (Ⅰ)求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及長軸長;
          (Ⅱ)求以線段AB為直徑的圓的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),如果一個橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(3,
          2
          ),且以點(diǎn)F(2,0)為它的一個焦點(diǎn).
          (1)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (2)在(1)中求過點(diǎn)F(2,0)的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知點(diǎn)M是曲線C上任一點(diǎn),點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離多1.
          (1)求曲線C的方程;
          (2)過點(diǎn)P(0,2)的直線L交曲線C于A、B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O,求直線L的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          a2-1
          =1(a>1)的左、右兩個焦點(diǎn),一條直線l經(jīng)過點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn),且△ABF2的周長為8.
          (1)求實(shí)數(shù)a的值;
          (2)若l的傾斜角為
          π
          4
          ,求|AB|的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          設(shè)直線y=x+1與橢圓
          x2
          2
          +y2=1
          相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=______.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          k為何值時,直線y=kx+2和橢圓2x2+3y2=6有兩個交點(diǎn)(  )
          A.-
          6
          3
          <k<
          6
          3
          B.k>
          6
          3
          或k<-
          6
          3
          C.-
          6
          3
          ≤k≤
          6
          3
          D.k≥
          6
          3
          或k≤-
          6
          3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖:已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1).
          (1)求p的值;
          (2)求△AOB的面積.

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          同步練習(xí)冊答案