Question

已知偶函數f（x）的定義域為R，對任意x∈R，有f（x+2）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=-x+1．則函數g（x）=log₆|x|-f（x）的零點的個數是（　�。�

• A、6個
• B、8個
• C、10個
• D、12個

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數的奇偶性、單調性和周期性畫出圖象，進而即可得到答案．

解答： 解：①設x∈[-1，0]，則（-x）∈[0，1]，
又∵函數f（x）是偶函數，∴f（x）=f（-x）=x+1．
∵f（x）=f（x+2），∴函數f（x）是周期為2的函數．
因此可以先畫出y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的圖象，
根據周期性即可畫出整個定義域內的圖象．
②畫出y=h（x）=log₆（|x|+1）=log₆（x+1）在[0，+∞）上的圖象，
根據其奇偶性即可畫出（-∞，0）上的圖象．
由圖象可以看出：函數f（x）的值域是[0，1]；
當x=±5時，y=1，即x∈[-5，5]時，y∈[0，1]，
當x＞5時，y＞1．
由圖象和上面的分析可知：
函數y=f（x） 與y=h（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上有且僅有10個交點，
則函數g（x）=log₆|x|-f（x）的零點的個數是10．
故選C．

點評：熟練掌握函數的奇偶性、單調性和周期性及畫出圖象是解題的關鍵．