Question

f（x）=[x]（x-[x]），[x]為x的整數(shù)部分，且g（x）=x-1，則f（x）≤g（x）的解集為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,不等式比較大小

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：題干中出現(xiàn)了高斯函數(shù)（也稱(chēng)取整函數(shù)），考慮就x的取值范圍進(jìn)行討論，

解答： 解：①當(dāng)0≤x＜1時(shí)，[x]=0，x-1＜0，
∴f（x）=0，g（x）=x-1＜0，即f（x）＞g（x），不合題意；
②當(dāng)x≥1時(shí)，假設(shè)n≤x＜n+1，則[x]=n，f（x）=n（x-n），而g（x）=x-1，
∴f（x）-g（x）=n（x-n）-x+1=（n-1）x-n²+1＜（n-1）（n+1）-n²+1=0，
即x≥1滿(mǎn)足要求，
③當(dāng)x＜0時(shí)，假設(shè)n≤x＜n+1＜0（n＜-1），則[x]=n，f（x）=n（x-n），而g（x）=x-1，
∴f（x）-g（x）=n（x-n）-x+1=（n-1）x-n²+1＞（n-1）（n+1）-n²+1=0，
即不滿(mǎn)足題意，
∴不等式f（x）≤g（x）的解集為[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞），

點(diǎn)評(píng)：本題涉及不等式中的比較大小問(wèn)題，與高斯函數(shù)（也稱(chēng)取整函數(shù)）相結(jié)合，有一定的難度，抓住高斯函數(shù)的特征，借助作差比較進(jìn)行求解，