Question

若x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[-1.5]=-2，[5.1]=5，設(shè){x}=x-[x]，則對函數(shù)f（x）={x}，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1）；
②它是以1為周期的周期函數(shù)；
③若方程f（x）=kx+k有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-

1

3

，-

1

4

]∪[

1

4

，

1

3

）；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），則f（x₁）≤f（x₂）．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：

分析：抓住n≤x＜n+1時(shí)，f（x）=x-n這一特征進(jìn)行求解．

解答： 解：①函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，假設(shè)n≤x＜n+1，則f（x）=x-n∈[0，1），即①正確；
②假設(shè)n≤x＜n+1，n+1≤x＜n+2（n∈Z），則f（x）=x-n，f（x+1）=x+1-n-1=x-n，即f（x）=f（x+1），②正確；
③方程f（x）=kx+k有三個(gè)不同的根，即函數(shù)f（x）的圖象與直線y=kx+k有三個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，k的取值范圍應(yīng)為(-1，-

1

2

]∪[

1

4

，

1

3

)，即③錯(cuò)誤；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），則f（x₁）=x₁-n，f（x₂）=x₂-n，故f（x₁）≤f（x₂），④正確．
故選：C．

點(diǎn)評：本題在高斯函數(shù)的背景下考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有一定的難度．解題時(shí)，要牢牢抓住n≤x＜n+1時(shí)，f（x）=x-n這一特征．