Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1，A、B、M是橢圓上的任意三點（異于橢圓頂點）．若存在銳角θ，使

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，則直線OA、OB的斜率乘積為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，可得x，y的坐標表達式，進而根據(jù)M在橢圓上，可得直線OA與OB的斜率之積．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

2

+y12=1①，

x22

2

+y22=1②
又設M（x，y），
∵

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

∵M在橢圓上，
∴

(x1cosθ+x2sinθ)2

2

+(y1cosθ+y2sinθ)2=1，
整理得（

x12

2

+y12）cos²θ+(

x22

2

+y22)•sin2θ+2(

x 1x2

2

+y1y2)cosθsinθ=1，
將①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得

x 1x2

2

+y1y2=0，
所以，k_OAk_OB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
故答案為：-

1

2

．

點評：本題考查向量知識的運用，考查運算能力及探究能力，屬于中檔題．