Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)， （）是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】【試題分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后對(duì)分成兩類，結(jié)合函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得的取值范圍.（2）將要證明的不等式，利用函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)數(shù)求得由此證得不等式成立.

【試題解析】

解：（1）∵， ．

（2）當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，顯然不符合題意．

（3）當(dāng)時(shí)，由，得，

	遞減	極小值	遞增

當(dāng)→， →時(shí)都有→，

當(dāng)，即時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）要證，即證，

由已知， ，

即證，

即證，即證，即證，

又∵，且在單調(diào)遞增，

故只需證，即證，

令且，

∵ ，

∴在單調(diào)遞減，∴，

∴在上恒成立，

∴，故原命題得證．