Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心為.已知點(diǎn)，且為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn).

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，拋物線： 的焦點(diǎn)為.， 是過點(diǎn)互相垂直的兩條直線，直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形面積的取值范圍是.

【解析】試題分析;(1)根據(jù)中垂線的幾何性質(zhì)得到 ，由橢圓的定義的到軌跡方程為；（2），聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，由弦長公式分別求得AC和BD，進(jìn)而求得面積表達(dá)式，再由換元法得到最值.

解析：

（Ⅰ）∵為線段中垂線上一點(diǎn)，

∴ ，

∵， ，∵，

∴的軌跡是以， 為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，

它的方程為.

（Ⅱ）∵的焦點(diǎn)為，

的方程為，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)， 與只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)直線斜率為時(shí)，可求得， ，

∴.

當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，

方程可設(shè)為，代入得

， ，

設(shè)， ，則， ，

.

直線的方程為與可聯(lián)立得，

設(shè)， ，則，

∴四邊形的面積

.

令，則，

，

∴在是增函數(shù)， ，

綜上，四邊形面積的取值范圍是.