Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為， ， 為橢圓的上頂點(diǎn)， 為等邊三角形，且其面積為， 為橢圓的右頂點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左、右頂點(diǎn)），且滿足，試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：⑴由為等邊三角形，且其面積為，可以得， ，從而計(jì)算出結(jié)果；⑵設(shè)， ，聯(lián)立直線與橢圓方程得， ，又因?yàn)?/span>， ，代入化簡(jiǎn)得，解出與的關(guān)系代入求解即可

解析：（Ⅰ）由已知

∴．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）設(shè)， ，

聯(lián)立得，

又，

因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)為，

∴，即，

∴，

∴，

∴．

解得： ， ，且均滿足，

當(dāng)時(shí)， 的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)， 的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)．

所以，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為