Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx.

(1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

(2)若對(duì)于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) [－1,1]．

【解析】試題分析：（1）利用說(shuō)明函數(shù)為增函數(shù)，利用說(shuō)明函數(shù)為減函數(shù)，要注意參數(shù)的討論；（2）由（1）知，對(duì)任意的， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問(wèn)題．從而求得的取值范圍．

試題解析：(1)證明：∵

∴.

若，則當(dāng)時(shí)， ， ，

當(dāng)時(shí)， ，

若，則當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

(2)由(1)知，對(duì)任意的， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對(duì)于任意， 的充要條件是即①

設(shè)函數(shù)，則

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ， ，即①式成立；

當(dāng)時(shí)， ，即；

當(dāng)時(shí)， ，即

綜上， 的取值范圍是．