Question

已知a，b，c為△ABC的三邊，若b²+c²-a²=bc，則

b+c

a

的取值范圍是（　�。�

• A、（1，2]
• B、（1，

  3

  ]
• C、[

  3

  ，2]
• D、（

  3

  ，2]

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用余弦定理表示出cosA，將已知等式代入計(jì)算求出cosA的值，確定出A的度數(shù)，進(jìn)而求出B+C的度數(shù)，用B表示出C，所求式子利用正弦定理化簡，將sinA的值與表示出的C代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解：∵△ABC中，b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∴A=60°，即B+C=120°，
將

b+c

a

利用正弦定理化簡得：

sinB+sinC

sinA

=

sinB+sinC

3 2

=

2 3

3

[sinB+sin（120°-B）]=

2 3

3

（

3

2

sinB+

3

2

cosB）=2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）=2sin（B+30°），
∵0＜B＜120°，即30°＜B+30°＜150°，
∴

1

2

＜sin（B+30°）≤1，即1＜2sin（B+30°）≤2，
則

b+c

a

的取值范圍是（1，2]．
故選：A．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．