Question

已知點(diǎn)G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

，則實(shí)數(shù)λ的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：首先根據(jù)三角形的重心性質(zhì)及直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，得到CD=

3

2

AB，再應(yīng)用余弦定理推出AC²+BC²=5AB²，將

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

應(yīng)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得λ=

sin2C

sinAsinBcosC

，然后運(yùn)用正弦定理和余弦定理，結(jié)合前面的結(jié)論，即可求出實(shí)數(shù)λ的值．

解答： 解：如圖，連接CG，延長(zhǎng)交AB于D，
由于G為重心，故D為中點(diǎn)，
∵AG⊥BG，∴DG=

1

2

AB，
由重心的性質(zhì)得，CD=3DG，即CD=

3

2

AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=

1

2

AB²+

9

2

AB²=5AB²，
又∵

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

，
∴

cosA

sinA

+

cosB

sinB

=

λcosC

sinC

，
則λ=

(sinAcosB+cosAsinB)sinC

sinAsinBcosC

=

sin(A+B)sinC

sinAsinBcosC

=

sin2C

sinAsinBcosC

=

AB2

BC•AC•cosC

=

2AB2

BC2+AC2-AB2

=

2AB2

4AB2

=

1

2

．
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．