Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

②f（3x）=3f（x），設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-1的零點(diǎn)從小到大依次記為x₁，x₂，x₃，…，則x₁+x₂+x₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知，可得x₁=2，x₂+x₃=12，代入可得x₁+x₂+x₃的值，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，不必考慮．利用已知可得：當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，由

x

3

∈[1，2]，可得f（x）=3f（

x

3

），f（x）∈[0，3]；同理，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，f（x）∈[0，3]；此時(shí)f（x）∈[0，3]．

解答： 解：∵①當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，f（x）∈[0，1]；
②f（3x）=3f（x）．
∴當(dāng)

1

3

≤x＜1時(shí)，則1≤3x＜3，
由f（x）=

1

3

f（3x）可知：f（x）∈[0，

1

3

]．
同理，當(dāng)x∈（0，

1

3

）時(shí)，0≤f（x）＜1，
當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，由

x

3

∈[1，2]，
可得f（x）=3f（

x

3

），f（x）∈[0，3]；
同理，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，由

x

3

∈（2，3），
可得f（x）=3f（

x

3

），f（x）∈[0，3]；
此時(shí)f（x）∈[0，3]．
x₁=2，x₂+x₃=12，
∴x₁+x₂+x₃=14．
故答案為：14

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、區(qū)間轉(zhuǎn)換、對(duì)稱性，屬于中檔題．