Question

a=c+1，a＞b＞c，則M=

1

a-b

+

2

b-c

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用已知轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵a=c+1，a＞b＞c，∴a-b=c+1-b＞0，∴1＞b-c＞0．
令b-c=x，x∈（0，1）．
則M=

1

c+1-b

+

2

b-c

=

1

1-x

+

2

x

=f（x），
則f′（x）=

1

(1-x)2

-

2

x2

=

-x2+4x-2

(x2-x)2

=

-(x-2- 2 )(x-2+ 2 )

(x2-x)2

．
可得：當(dāng)且僅當(dāng)x=2-

2

時取得最小值3+2

2

．
∴f(x)∈[3+2

2

，+∞)．
故答案為：[3+2

2

，+∞)．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了轉(zhuǎn)化方法和推理能力，屬于難題．