Question

若對一切x∈R，不等式4^x+（a-1）2^x+1≥0恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：把不等式4^x+（a-1）2^x+1≥0變形得到a≥-2x-

1

2x

+1，令2^x=t（t＞0）換元后構(gòu)造函數(shù)g（t）=-t-

1

t

+1（t＞0），由導(dǎo)數(shù)求其最大值后得答案．

解答： 解：當(dāng)x∈R時(shí)，2^x＞0，
∴不等式4^x+（a-1）2^x+1≥0恒成立等價(jià)于a-1≥

-4x-1

2x

=-2x-

1

2x

恒成立，
即a≥-2x-

1

2x

+1恒成立．
令2^x=t（t＞0）．
即a≥-t-

1

t

+1（t＞0）恒成立．
令g（t）=-t-

1

t

+1（t＞0），
g′(t)=-1+

1

t2

=

-t2+1

t2

，
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g′（t）＞0，
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g′（t）＜0．
∴當(dāng)t=1時(shí)g（t）有極大值也就是最大值，
g（t）_max=g（1）=-1．
∴a≥-1．
故答案為：a≥-1．

點(diǎn)評：本題考查了恒成立問題，考查了換元法和函數(shù)構(gòu)造法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．