Question

曲線y=xsinx在點A（

π

2

，

π

2

），B（-

π

2

，

π

2

））處的切線分別為l₁，l₂，設l₁，l₂及直線x-2y+2=0圍成的區(qū)域為D（包括邊界）．設點P（x，y）是區(qū)域D內任意一點，則x+2y的最大值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：求出函數的切線方程，作出對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可得到結論．

解答： 解：∵y=xsinx，
∴y′=sinx+xcosx，
x=

π

2

，y′=1；x=-

π

2

，y′=-1，
∴l(xiāng)₁：y-

π

2

=x-

π

2

，
即y=x；l₂：y-

π

2

=-（x-

π

2

），即y=-x，
l₁，l₂及直線x-2y+2=0圍成的區(qū)域為D（包括邊界），如圖所示，
交點坐標分別為（0，0）、（2，2）、（-

2

3

，

2

3

），
∴在（2，2）處，x+2y的最大值為6．
故答案為：6．

點評：本題主要考查導數的幾何意義的應用，以及線性規(guī)劃的有關知識，利用數形結合是解決本題的關鍵．