Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于直線l：ax+by+c=0和點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），記η=（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c），若η＜0，則稱點P₁，P₂被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線C上存在點P₁、P₂被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線．
（1）求證：點A（1，2），B（-1，0）被直線x+y-1=0分隔；
（2）若直線y=kx是曲線x²-4y²=1的分隔線，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）動點M到點Q（0，2）的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點M的軌跡為E，求E的方程，并證明y軸為曲線E的分隔線．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）把A、B兩點的坐標(biāo)代入η=（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c），再根據(jù)η＜0，得出結(jié)論．
（2）聯(lián)立

x2-4y2=1 y=kx

可得 （1-4k²）x²=1，根據(jù)此方程無解，可得1-4k²≤0，從而求得k的范圍．
（3）設(shè)點M（x，y），與條件求得曲線E的方程為[x²+（y-2）²]x²=1 ①．由于y軸為x=0，顯然與方程①聯(lián)立無解．把P₁、P₂的坐標(biāo)代入x=0，由η=1×（-1）=-1＜0，可得x=0是一條分隔線．

解答： 解：（1）把點（1，2）、（-1，0）分別代入x+y-1可得η=（1+2-1）（-1-1）=-4＜0，
∴點（1，2）、（-1，0）被直線 x+y-1=0分隔．
（2）聯(lián)立

x2-4y2=1 y=kx

可得 （1-4k²）x²=1，根據(jù)題意，此方程無解，故有1-4k²≤0，
∴|k|≥

1

2

．當(dāng)|k|≥

1

2

時，對于直線y=kx，曲線x²-4y²=1上的點（-1，0）和（1，0）滿足η=-k²＜0，即點（-1，0）和（1，0）被y=kx分隔．
故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞）．
（3）設(shè)點M（x，y），則

x2+(y-2)2

•|x|=1，故曲線E的方程為[x²+（y-2）²]x²=1 ①．
對任意的y₀，（0，y₀）不是上述方程的解，即y軸與曲線E沒有公共點．
又曲線E上的點（1，2）、（-1，2）對于y軸（x=0）滿足η=1×（-1）=-1＜0，即點（-1，2）和（1，2）被y軸分隔，所以y軸為曲線E的分隔線．

點評：本題主要考查新定義，直線的一般式方程，求點的軌跡方程，屬于中檔題．