Question

已知點(diǎn)P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求M的軌跡方程；
（2）當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,三角形的面積公式

專題：直線與圓

分析：（1）由圓C的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出M坐標(biāo)，由

CM

與

MP

數(shù)量積等于0列式得M的軌跡方程；
（2）設(shè)M的軌跡的圓心為N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得到PM所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到l的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長(zhǎng)間的關(guān)系求出PM的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式得答案．

解答： 解：（1）由圓C：x²+y²-8y=0，得x²+（y-4）²=16，
∴圓C的圓心坐標(biāo)為（0，4），半徑為4．
設(shè)M（x，y），則

CM

=(x，y-4)，

MP

=(2-x，2-y)．
由題意可得：

CM

•

MP

=0．
即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0．
整理得：（x-1）²+（y-3）²=2．
∴M的軌跡方程是（x-1）²+（y-3）²=2．
（2）由（1）知M的軌跡是以點(diǎn)N（1，3）為圓心，

2

為半徑的圓，
由于|OP|=|OM|，
故O在線段PM的垂直平分線上，
又P在圓N上，
從而ON⊥PM．
∵k_ON=3，
∴直線l的斜率為-

1

3

．
∴直線PM的方程為y-2=-

1

3

(x-2)，即x+3y-8=0．
則O到直線l的距離為

|-8|

12+32

=

4 10

5

．
又N到l的距離為

|1×1+3×3-8|

10

=

10

5

，
∴|PM|=2

2-( 10 5 )2

=

4 10

5

．
∴S△POM=

1

2

×

4 10

5

×

4 10

5

=

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用向量數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．