Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+bx+b）

1-2x

（b∈R）
（1）當(dāng)b=4時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，

1

3

）上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把b=4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得極值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（0，

1

3

）上大于等于0恒成立，得到b≤

2-5x

3

對任意x∈（0，

1

3

）恒成立．由單調(diào)性求出

2-5x

3

的范圍得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)b=4時，f（x）=（x²+4x+4）

1-2x

=(x+2)2

1-2x

（x≤

1

2

），
則f′(x)=2(x+2)

1-2x

+(x+2)2•

1

2

(1-2x)-

1

2

•(-2)=

-5x(x+2)

1-2x

．
由f′（x）=0，得x=-2或x=0．
當(dāng)x＜-2時，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，-2）上為減函數(shù)．
當(dāng)-2＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（-2，0）上為增函數(shù)．
當(dāng)0＜x＜

1

2

時，f′（x）＜0，f（x）在（0，

1

2

）上為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=-2時，f（x）取極小值為0．
當(dāng)x=0時，f（x）取極大值為4；

（2）由f（x）=（x²+bx+b）

1-2x

，得：
f′(x)=(2x+b)

1-2x

+(x2+bx+b)•

1

2

(1-2x)-

1

2

•(-2)
=

-5x2-3bx+2x

1-2x

．
由f（x）在區(qū)間（0，

1

3

）上單調(diào)遞增，
得f′（x）≥0對任意x∈（0，

1

3

）恒成立．
即-5x²-3bx+2x≥0對任意x∈（0，

1

3

）恒成立．
∴b≤

2-5x

3

對任意x∈（0，

1

3

）恒成立．
∵

2-5x

3

＞

2-5× 1 3

3

=

1

9

．
∴b≤

1

9

．
∴b的取值范圍是(-∞，

1

9

]．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．