Question

對于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a²-2ab+4b²-c=0且使|2a+b|最大時(shí)，

3

a

-

4

b

+

5

c

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先把：4a²-2ab+4b²-c=0，轉(zhuǎn)化為

c

4

=(a-

b

4

)2+

15

16

b2，再由柯西不等式得到|2a+b|²，分別用b表示a，c，在代入到

3

a

-

4

b

+

5

c

得到關(guān)于b的二次函數(shù)，求出最小值即可．

解答： 解：∵4a²-2ab+4b²-c=0，
∴

c

4

=a2-

1

2

ab+b2=(a-

b

4

)2+

15

16

b2
由柯西不等式得，
[(a-

b

4

)2+

15

16

b2][22+(

6

15

)2]≥[2(a-

b

4

)+

15

4

b•

6

15

]2=|2a+b|²
故當(dāng)|2a+b|最大時(shí)，有

a- b 4

2

=

15 4 b

6 15

∴a=

3

2

b，c=10b2
∴

3

a

-

4

b

+

5

c

=

3

3 2 b

-

4

b

+

5

10b2

=

1

2

(

1

b

)2-

2

b

=

1

2

(

1

b

-2)2-2，
當(dāng)b=

1

2

時(shí)，取得最小值為-2．
故答案為：-2

點(diǎn)評：本題考查了柯西不等式，以及二次函數(shù)的最值問題，屬于難題．