Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為？如果存在，求出線段的長(zhǎng)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）點(diǎn)存在，即的中點(diǎn)，．

【解析】

（1）以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量為，得，進(jìn)而證出結(jié)論；

（2）求出平面的法向量為，平面法向量，得，進(jìn)而得出結(jié)論；

（3）設(shè)，利用直線與平面所成的角為，結(jié)合向量夾角公式列出關(guān)于的方程解出即可.

（1）在直三棱柱中，平面，又因?yàn)?/span>，

以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

由題意得，，，，，．

所以，，設(shè)平面的法向量為，則

，即，令，得，，于是．

又因?yàn)?/span>，所以．又因?yàn)?/span>平面，

所以平面．

（2）設(shè)平面的法向量為，，，

，即，令，得，，于是，

平面法向量，．

所以二面角的大小為．

（3）．設(shè)直線與平面所成角為，則，設(shè)，則，，

所以，解得或（舍），

所以點(diǎn)存在，即的中點(diǎn)，．