Question

【題目】已知（，為此函數(shù)的定義域）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間，使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，那么稱，為閉函數(shù)；

請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

(1) 求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；

(2) 判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由；

(3)若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Answer 1

【答案】1)2) 函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)3)

【解析】

解：(1) 先證符合條件①：對(duì)于任意，且，有

，，故是上的減函數(shù)．由題可得：則，而，，又，，所求區(qū)間為

(2) 當(dāng)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（證明略）所以，函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)

（3）易知是上的增函數(shù)，符合條件①；設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為，則；故是的兩個(gè)不等根，即方程組為：

有兩個(gè)不等非負(fù)實(shí)根；

設(shè)為方程的二根， ，

解得：的取值范圍．