Question

【題目】已知：函數(shù)，其中．

（Ⅰ）若是的極值點，求的值；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】

試題（Ⅰ）由若是的極值點，可得，對求導(dǎo)，，將代入就可求出；（Ⅱ）根據(jù)，進(jìn)行討論，首先討論時，．故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是，再討論時，令，得，或，再比較0與的大小關(guān)系，依次分，，，幾種情況進(jìn)行討論，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）由（Ⅱ）知時，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意．當(dāng)時，在的最大值是，由，知不合題意．

當(dāng)時，在單調(diào)遞減，可得在上的最大值是，符合題意．本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查分類討論思想在解題中應(yīng)用．

試題解析：（Ⅰ）．依題意，令，解得．

經(jīng)檢驗，時，符合題意．

（Ⅱ）① 當(dāng)時，．

故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是．

② 當(dāng)時，令，得，或．

當(dāng)時，與的情況如下：

	↘		↗		↘

所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和

當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間是．

當(dāng)時，，與的情況如下：

	↘		↗		↘

所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和．

③ 當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是．

綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

當(dāng)時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；

當(dāng)時，的減區(qū)間是；

當(dāng)時，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知時，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意．

當(dāng)時，在的最大值是，

由，知不合題意．

當(dāng)時，在單調(diào)遞減，

可得在上的最大值是，符合題意．

所以，在上的最大值是時，的取值范圍是．