Question

【題目】如圖，已知多面體中，為菱形，，平面，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）由題意可知、、、共面.連接，，相交于點(diǎn)，由空間幾何關(guān)系可證得平面，則，結(jié)合題意有平面，結(jié)合面面垂直的判斷定理可得平面平面.

（2）取的中點(diǎn)，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得平面的法向量為，平面的法向量，利用空間向量的結(jié)論可得二面角的余弦值為.

（1）證明：∵，∴四點(diǎn)、、、共面.

如圖所示，連接，，相交于點(diǎn)，

∵四邊形是菱形，∴對(duì)角線，

∵平面，

∴，又，

∴平面，

∴，

又，，

∴平面，

平面，

∴平面平面.

（2）取的中點(diǎn)，

∵，，

∴是等邊三角形，∴，

又，∴，

以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

，，，.

∵.

∴，解得.

設(shè)平面的法向量為，

則，∴，

取.

同理可得：平面的法向量.

∴.

由圖可知：二面角的平面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為.