Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-a（1-

1

x

），a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為0，回答下列問題：
（�。┣髮�(shí)數(shù)a的值；
（ⅱ）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）+2，記[x]表示不大于x的最大整數(shù)，求S_n=[a₁]+[a₂]+…+[a_n]，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）（i）利用（Ⅰ）的結(jié)論即可求得a的值；
   （ii）利用歸納推理，猜想當(dāng)n≥3，n∈N時(shí)，2＜a_n＜

5

2

，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．…（1分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；…（2分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）．…（3分）
綜上述：a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）（�。┯桑á瘢┲�，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無最小值，不合題意；…（5分）
當(dāng)a＞0時(shí)，[f（x）]_min=f（a）=1-a+lna=0…（6分）
令g（x）=1-x+lnx（x＞0），則g′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，
由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1．
所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
故[g（x）]_max=g（1）=0，即當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=0．
因此，a=1．…（8分）
（ⅱ）因?yàn)閒（x）=lnx-1+

1

x

，所以a_n+1=f（a_n）+2=1+

1

an

+lna_n．
由a₁=1得a₂=2于是a₃=

3

2

+ln2．因?yàn)?span id="0zxvnh5" class="MathJye">

1

2

＜ln2＜1，所以2＜a₃＜

5

2

．
猜想當(dāng)n≥3，n∈N時(shí)，2＜a_n＜

5

2

．…（10分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
①當(dāng)n=3時(shí)，a₃=

3

2

+ln2，故2＜a₃＜

5

2

．成立．…（11分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3，k∈N）時(shí)，不等式2＜a_k＜

5

2

成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=1+

1

ak

+lna_k，
由（Ⅰ）知函數(shù)h（x）=f（x）+2=1+

1

x

+lnx在區(qū)間（2，

5

2

）單調(diào)遞增，
所以h（2）＜h（a_k）＜h（

5

2

），又因?yàn)閔（2）=1+

1

2

+ln2＞2，
h（

5

2

）=1+

2

5

+ln

5

2

＜1+

2

5

+1＜

5

2

．
故2＜a_k+1＜

5

2

成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
根據(jù)①②可知，當(dāng)n≥3，n∈N時(shí)，不等式2＜a_n＜

5

2

成立．…（13分）
因此，S_n=[a₁]+[a₂]+…+[a_n]=1+2（n-1）=2n-1…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)等，
考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無限思想等，屬難題．