Question

在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知

BA

•

BC

=2，cosB=

1

3

，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B-C）的值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數量積的運算,兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）利用平面向量的數量積運算法則化簡

BA

•

BC

=2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a²+c²=13，聯立即可求出ac的值；
（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函數間基本關系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，進而求出cosC的值，原式利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

BA

•

BC

=2，cosB=

1

3

，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即9=a²+c²-4，
∴a²+c²=13②，
聯立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB=

1-cos2B

=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

c

b

sinB=

2

3

×

2 2

3

=

4 2

9

，
∵a=b＞c，∴C為銳角，
∴cosC=

1-sin2C

=

1-( 4 2 9 )2

=

7

9

，
則cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=

1

3

×

7

9

+

2 2

3

×

4 2

9

=

23

27

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數量積運算，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．