Question

已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l₁：y=2x，l₂：y=-2x．
（1）求雙曲線E的離心率；
（2）如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l₁，l₂于A，B兩點（A，B分別在第一、第四象限），且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）依題意，可知

b

a

=2，易知c=

5

a，從而可求雙曲線E的離心率；
（2）由（1）知，雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

4a2

=1，設直線l與x軸相交于點C，分l⊥x軸與直線l不與x軸垂直討論，當l⊥x軸時，易求雙曲線E的方程為

x2

4

-

y2

16

=1．當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y=kx+m，與雙曲線E的方程聯(lián)立，利用由S_△OAB=

1

2

|OC|•|y₁-y₂|=8可證得：雙曲線E的方程為

x2

4

-

y2

16

=1，從而可得答案．

解答： 解：（1）因為雙曲線E的漸近線分別為l₁：y=2x，l₂：y=-2x，
所以

b

a

=2．
所以

c2-a2

a

=2．
故c=

5

a，
從而雙曲線E的離心率e=

c

a

=

5

．
（2）由（1）知，雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

4a2

=1．
設直線l與x軸相交于點C，
當l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則|OC|=a，|AB|=4a，
所以

1

2

|OC|•|AB|=8，
因此

1

2

a•4a=8，解得a=2，此時雙曲線E的方程為

x2

4

-

y2

16

=1．
以下證明：當直線l不與x軸垂直時，雙曲線E的方程為

x2

4

-

y2

16

=1也滿足條件．
設直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k＞2或k＜-2；
則C（-

m

k

，0），記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m y=2x

得y₁=

2m

2-k

，同理得y₂=

2m

2+k

，
由S_△OAB=

1

2

|OC|•|y₁-y₂|得：

1

2

|-

m

k

|•|

2m

2-k

-

2m

2+k

|=8，即m²=4|4-k²|=4（k²-4）．
由

x2 4 - y2 16 =1 y=kx+m

得：（4-k²）x²-2kmx-m²-16=0，
因為4-k²＜0，
所以△=4k²m²+4（4-k²）（m²+16）=-16（4k²-m²-16），
又因為m²=4（k²-4），
所以△=0，即直線l與雙曲線E有且只有一個公共點．
因此，存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程為

x2

4

-

y2

16

=1．

點評：本題考查雙曲線的方程與性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查特殊與一般思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想．