Question

如圖，曲線C由上半橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0，y≥0）和部分拋物線C₂：y=-x²+1（y≤0）連接而成，C₁與C₂的公共點(diǎn)為A，B，其中C₁的離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）過點(diǎn)B的直線l與C₁，C₂分別交于點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A，B），若AP⊥AQ，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）在C₁、C₂的方程中，令y=0，即得b=1，設(shè)C₁：的半焦距為c，由

c

a

=

3

2

及a²-c²=b²=1得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半橢圓C₁的方程為

y2

4

+x²=1（y≥0），設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠0），代入C₁的方程，整理得（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0．（*）設(shè)點(diǎn)P（x_p，y_p），依題意，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

k2-4

k2+4

，

-8k

k2+4

）；同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-k-1，-k²-2k），利用

AP

•

AQ

=0，可求得k的值，從而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）在C₁、C₂的方程中，令y=0，可得b=1，且A（-1，0），B（1，0）是上半橢圓C₁的左右頂點(diǎn)．
設(shè)C₁：的半焦距為c，由

c

a

=

3

2

及a²-c²=b²=1得a=2．
∴a=2，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半橢圓C₁的方程為

y2

4

+x²=1（y≥0）．
易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠0），
代入C₁的方程，整理得
（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0．（*）
設(shè)點(diǎn)P（x_p，y_p），
∵直線l過點(diǎn)B，
∴x=1是方程（*）的一個根，
由求根公式，得x_p=

k2-4

k2+4

，從而y_p=

-8k

k2+4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

k2-4

k2+4

，

-8k

k2+4

）．

同理，由

y=k(x-1)(k≠0) y=-x2+1(y≤0)

得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-k-1，-k²-2k），
∴

AP

=

2k

k2+4

（k，-4），

AQ

=-k（1，k+2），
∵AP⊥AQ，∴

AP

•

AQ

=0，即

-2k2

k2+4

[k-4（k+2）]=0，
∵k≠0，∴k-4（k+2）=0，解得k=-

8

3

．
經(jīng)檢驗，k=-

8

3

符合題意，
故直線l的方程為y=-

8

3

（x-1），即8x+3y-8=0．

點(diǎn)評：本題考查橢圓與拋物線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，屬于難題．