Question

設函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數，A＞0，ω＞0）若f（x）在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上具有單調性，且f（

π

2

）=f（

2π

3

）=-f（

π

6

），則f（x）的最小正周期為

 

．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：由f（

π

2

）=f（

2π

3

）求出函數的一條對稱軸，結合f（x）在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上具有單調性，且f（

π

2

）=-f（

π

6

）
可得函數的半周期，則周期可求．

解答： 解：由f（

π

2

）=f（

2π

3

），可知函數f（x）的一條對稱軸為x=

π 2 + 2π 3

2

=

7π

12

，
則x=

π

2

離最近對稱軸距離為

7π

12

-

π

2

=

π

12

．
又f（

π

2

）=-f（

π

6

），則f（x）有對稱中心（

π

3

，0），
由于f（x）在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上具有單調性，
則

π

2

-

π

6

≤

1

2

T⇒T≥

2π

3

，從而

7π

12

-

π

3

=

T

4

⇒T=π．
故答案為：π．

點評：本題考查f（x）=Asin（ωx+φ）型圖象的形狀，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，是中檔題．