已知函數(shù)
(I)當(dāng)
時，討論函數(shù)
的單調(diào)性：
(Ⅱ)若函數(shù)
的圖像上存在不同兩點
，
，設(shè)線段
的中點為
，使得在點
處的切線
與直線平行或重合，則說函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”.
試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由.
(I) 當(dāng)
時,函數(shù)的遞增區(qū)間是
,遞減區(qū)間是
當(dāng)
時，函數(shù)的遞增區(qū)間是
和，遞減區(qū)間是
(Ⅱ) 函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”
解析試題分析：（1）
當(dāng)
即
時，
，函數(shù)在定義域
上是增函數(shù)；
當(dāng)
即
時,由
得到
或
，
所以：當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；
當(dāng)
即
時，由
得到：，
所以:當(dāng)時,函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；
（2）若函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，則存在
（
）使得 
即
，
即
，（*）
當(dāng)
時，（*）對任意的都成立，所以函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無數(shù)條；
當(dāng)時，設(shè)
，則方程
在區(qū)間
上有解，
記函數(shù)
，則
，
所以當(dāng)
時，
，即方程在區(qū)間上無解，
即函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”.
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運用中點坐標(biāo)公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．
靈星計算小達人系列答案
孟建平錯題本系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，
（1）求
的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若在區(qū)間
上的最大值為20，求它在該區(qū)間的最小值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，
，（
）．
（1）求函數(shù)
的極值；
（2）已知
，函數(shù)
， 
，判斷并證明
的單調(diào)性；
（3）設(shè)
，試比較
與
，并加以證明．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)曲線
在點
處的切線斜率為
，且
，對一切實數(shù)
,不等式
恒成立
．
（1） 求
的值；
（2） 求函數(shù)的表達式；
（3） 求證:
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)函數(shù)
，
（I）若
，求函數(shù)
的極小值，
（Ⅱ）若
，設(shè)
，函數(shù)
．若存在
使得
成立，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
.
（1）若p=2，求曲線
處的切線方程；
（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求正實數(shù)p的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)
，若在[1,e]上至少存在一點
，使得
成立，求實
數(shù)p的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（本題滿分12分） 設(shè)函數(shù)
.
（Ⅰ）判斷
能否為函數(shù)
的極值點，并說明理由；
（Ⅱ）若存在
，使得定義在
上的函數(shù)
在處取得最大值，求實數(shù)
的最大值.
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是二次函數(shù)，不等式
的解集是
，且
處的切線與直線
平行.求
．
的最小值；
都有
，求實數(shù)
的取值范圍．