Question

已知虛數(shù)α、β滿足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），若|α-β|=1，則p=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵虛數(shù)α、β滿足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），
∴虛數(shù)α、β是方程x²+px+1=0的兩個(gè)虛根，
則α、β互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)α=a+bi，則β=a-bi，
則α-β=2bi，由|α-β|=1，得2|b|=1，|b|=

1

2

，
則由α²+pα+1=0得a²-b²+2abi+p（a+bi）+1=0，
即a²-b²+pa+1=0且2ab+bp=0，
即p=-2a，a²-

1

4

-2a²+1=0
即a²=

3

4

，a=±

3

2

，
則p=-2a=±

3

，
（另解：∵虛數(shù)α、β滿足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），
∴虛數(shù)α、β是方程x²+px+1=0的兩個(gè)虛根，
則α、β互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)α=a+bi，則β=a-bi，
則α-β=2bi，由|α-β|=1，得2|b|=1，|b|=

1

2

，
由根與系數(shù)之間的關(guān)系得α+β=-p=2a，αβ=a²+b²=1，
即a²=1-b²=1-

1

4

=

3

4

，a=±

3

2

，
則p=-2a=±

3

，
故答案為：±

3

，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．