Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x+m，g（x）=x³-3ax²+2bx，且函數(shù)g（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處的切線方程為y=-1，
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)于任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)g（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處的切線方程為y=-1，可得

3-6a+2b=0 1-3a+2b=-1

，即可求a，b的值；
（2）對(duì)于任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）＜g（x₂）成立，即是f（x）_max＜g（x）_max，從而可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）由函數(shù)g（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處的切線方程為y=-1，
知g'（1）=0，g（1）=-1．
又g'（x）=3x²-6ax+2b．
所以

3-6a+2b=0 1-3a+2b=-1

，解得

a= 1 3 b=- 1 2

，
所以g（x）=x³-x²-x
（2）對(duì)于任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
即是f（x）_max＜g（x）_max
又f'（x）=e^x-1在x∈[0，2]恒有f'（x）＞0，
即f（x）在x∈[0，2]遞增
所以f(x)max=f(2)=e2-2+m．
g'（x）=3x²-2x+1=（3x+1）（x-1），
令g'（x）=0，得x=-

1

3

（舍）或x=1，
故g（x）在（0，1）遞減，在（1，2）遞增，
又g（0）=0，g（2）=2，所以g（x）_max=g（2）=2
于是 e²-2+m＜2
所以m＜4-e²

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．