Question

已知拋物線C：x²=4y焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求線段AB中點(diǎn)Q的軌跡方程；
（Ⅱ）動(dòng)點(diǎn)P是拋物線C上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB與拋物線C的準(zhǔn)線l分別交于點(diǎn)M，N，求

FM

•

FN

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）AB的方程為：y=kx+1，聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得：x²-4kx-4=0，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求線段AB中點(diǎn)Q的軌跡方程；
（Ⅱ）求出M，N點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）C：x²=4y的焦點(diǎn)為（0，1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)（x，y）．
AB的方程為：y=kx+1．
聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得：x²-4kx-4=0，根據(jù)韋達(dá)定理，得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴x=

x1+x2

2

=2k，y=

y1+y2

2

=2k²+1，
∴AB中點(diǎn)的軌跡方程：y=

1

2

x2+1．                            …（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，

x02

4

），則直線PA的方程為：y-

x12

4

=

x12 4 - x02 4

x1-x0

（x-x₁），
當(dāng)y=-1時(shí)，x=

-4+x1x0

x1+x0

．即M點(diǎn)橫坐標(biāo)為x_M=

-4+x1x0

x1+x0

，
同理可得N點(diǎn)橫坐標(biāo)為x_N=

-4+x2x0

x2+x0

．                    …（8分）
∴x_Mx_N=

-4+x1x0

x1+x0

•

-4+x2x0

x2+x0

=-4，
∴

FM

•

FN

=（x_M，-2）•（x_N，-2）=x_Mx_N+4=0 …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．