Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax²-lnx
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=

1

8

時(shí)，證明：方程f（x）=f（

2

3

）在區(qū)間（2，+∞）內(nèi)有唯一解．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）方程f（x）=f（

2

3

）在區(qū)間（2，+∞）內(nèi)有唯一解，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)函數(shù)y=f（x）-f（

2

3

）在（2，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，由零點(diǎn)判定定理可證明存在性，由（1）的結(jié)論可證明唯一性；

解答： 解：（1）f′（x）=2ax-

1

x

=

2a(x+ 2a 2a )(x- 2a 2a )

x

，（a＞0）
由f′（x）＞0得，x＞

2a

2a

，由f′（x）＜0得，0＜x＜

2a

2a

，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

2a

2a

），單調(diào)增區(qū)間為（

2a

2a

，+∞）；
證明：（2）當(dāng)a=

1

8

時(shí)，f（x）-f（

2

3

）=

1

8

x²-lnx-

1

8

×

4

9

+ln

2

3

=

1

8

x²-lnx-

1

18

+ln

2

3

，
∵f（2）-f（

2

3

）=

1

8

×4-ln2-

1

18

+ln

2

3

=

4

9

+ln

1

3

=

4

9

-ln3＜0，
f（6）-f（

2

3

）=

1

8

×62-ln6-

1

18

+ln

2

3

=

9

2

-ln6-

1

18

+ln

2

3

=

40

9

-ln9＞

40

9

-lne3=

40

9

-3＞0，
∴函數(shù)y=f（x）-f（

2

3

）在（2，6）內(nèi)有零點(diǎn)，則在（2，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，
又由（1）知，a=

1

8

時(shí)，函數(shù)y=f（x）-f（

2

3

）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f（x）-f（

2

3

）在（2，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
故當(dāng)a=

1

8

時(shí)，方程f（x）=f（

2

3

）在區(qū)間（2，+∞）內(nèi)有唯一解．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)判定定理，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．