Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-alnx．
（Ⅰ）若a=4，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）設函數(shù)g(x)=-

3

2

x2+(1-a)x，試問：在定義域內(nèi)是否存在三個不同的自變量x_i（x=1，2，3）使得f（x_i）+g（x_i）的值相等，若存在，請求出a的范圍，若不存在，請說明理由？

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由a=4，得函數(shù)f（x）的解析式，求出其導函數(shù)以及導數(shù)為0的根，通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出f（x）的極小值；
（2）若定義域內(nèi)存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，設f（x_i）+g（x_i）=m．（i=1，2，3），則對于某一實數(shù)m，方程f（x）+g（x）=m在（0，+∞）上有三個不等的實數(shù)，由此能求出在定義域內(nèi)不存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）+g（x_i）的值恰好都相等．

解答： 解：（Ⅰ）定義域為（0，+∞），由已知得f′（x）=

4(x2-1)

x

，…（2分）
則當0＜x＜1時f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
當x＞1時f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)的極小值為f（1）=2；                 …（6分）
（Ⅱ）若存在，設f（x_i）+g（x_i）=m（i=1，2，3），
則對于某一實數(shù)m方程f（x）+g（x）-m=0在（0，+∞）上有三個不等的實根，
設F(x)=f(x)+g(x)-m=2x2-alnx-

3

2

x2+(1-a)x-m，
則函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）-m的圖象與x軸有三個不同交點，
即F′(x)=4x-

a

x

-3x+1-a=

x2+(1-a)x-a

x

在（0，+∞）有兩個不同的零點．  …（9分）
顯然F′(x)=

x2+(1-a)x-a

x

=

(x+1)(x-a)

x

在（0，+∞）上至多只有一個零點
則函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）-m的圖象與x軸至多有兩個不同交點，
則這樣的a不存在．                                                 …（13分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．