Question

角α的頂點在坐標原點O，始邊在y軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第三象限內(nèi)的點P，且tanα=-

3

4

；角β的頂點在坐標原點O，始邊在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點Q，且tanβ=-2．對于下列結(jié)論：
①P（-

3

5

，-

4

5

）；
②|PQ|²=

10+2 5

5

；
③cos∠POQ=-

3

5

；
④△POQ的面積為

5

5

．
其中所有正確結(jié)論的序號有

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用誘導(dǎo)公式得到OP所對應(yīng)的角，結(jié)合平方關(guān)系求解

π

2

+α的正余弦值得答案，判斷命題①；
求出Q的坐標，由兩點間的距離公式計算|PQ|²，然后判斷真假；
把兩角差的余弦用誘導(dǎo)公式化為正弦，展開后計算得答案，再判斷真假；
直接由面積公式求值，然后判斷真假．

解答： 解：如圖，

對于①，由tanα=-

3

4

，得cot(α+

π

2

)=

3

4

，
∴

cos(α+ π 2 )

sin(α+ π 2 )

=

3

4

．
又sin2(α+

π

2

)+cos2(α+

π

2

)=1，
且α+

π

2

∈(π，

3π

2

)，
解得：sin(α+

π

2

)=-

4

5

，cos(α+

π

2

)=-

3

5

．
設(shè)P（x，y），
∴x=cos(α+

π

2

)=-

3

5

，sin(α+

π

2

)=-

4

5

．
∴P（-

3

5

，-

4

5

）．命題①正確；
對于②，由tanβ=-2，得

sinβ

cosβ

=-2，
又sin²β+cos²β=1，且β∈(

π

2

，π)，
解得：cosβ=-

5

5

，sinβ=

2 5

5

．
∴Q（-

5

5

，

2 5

5

）．
∴|PQ|²=(-

3

5

+

5

5

)2+(-

4

5

-

2 5

5

)2=

10+2 5

5

．命題②正確；
對于③，cos∠POQ=cos（

π

2

+α-β）=-sin（α-β）
=-sinαcosβ+cosαsinβ=-

3

5

×(-

5

5

)+(-

4

5

)×

2 5

5

=-

5

5

．命題③錯誤；
對于④，由③得：sin∠POQ=

2 5

5

，
∴S△POQ=

1

2

×1×1×

2 5

5

=

5

5

．命題④正確．
∴正確的命題是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)線，訓(xùn)練了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的用法，是中檔題．