Question

已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，f′（x）是它的導函數(shù)，當x＞0時，f（x）+xf′（x）≤0恒成立，且f（-2）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）+xf′（x）≤0，構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），通過研究函數(shù)F（x）的單調(diào)性，結(jié)合f（-2）=0，畫出F（x）的大致圖象，根據(jù)圖象寫出不等式的解集．

解答： 解：設(shè)F（x）=xf（x），
當x＞0時，F(xiàn)′（x）=f（x）+xf′（x）≤0
∴函數(shù)F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
∴F（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-F（x）
∴函數(shù)F（x）是奇函數(shù)，
∴函數(shù)F（x）在（-∞，0）上也是減函數(shù)，
∵f（-2）=0，∴f（2）=0
畫出F（x）的大致圖象如圖：
由圖象觀察可得：xf（x）＜0即F（x）＜0解集為（-2，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（-2，0）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想．解決本題的關(guān)鍵是能夠想到通過構(gòu)造函數(shù)解決．