Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，則μ=

xy

x2+y2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化思想

分析：由約束條件作出可行域，令z=

1

μ

=

x2+y2

xy

=

1

y x

+

y

x

，由

y

x

的幾何意義求出其范圍，結(jié)合“對勾函數(shù)”的單調(diào)性求出z的范圍，取倒數(shù)后得答案．

解答： 解：由約束條件

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

作出可行域如圖陰影部分所示：
令z=

1

μ

=

x2+y2

xy

=

1

y x

+

y

x

，
則z≥2，當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=1時，z最小，最小值為2．
其中

y

x

可以看作是原點(diǎn)（0，0）與可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）連線OM的斜率．
其最大值為2，最小值為

1

3

，
由z（2）=

1

2

+2=

5

2

，z（

1

3

）=

1

1 3

+

1

3

=

10

3

，
因此z=

x2+y2

xy

的最大值為

10

3

．
則目標(biāo)函數(shù)z=

x2+y2

xy

的取值范圍是[2，

10

3

]．
∴μ=

xy

x2+y2

的取值范圍是[

3

10

，

1

2

]．
故答案為：[

3

10

，

1

2

]．

點(diǎn)評：本題考查線性規(guī)劃知識，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用“對勾函數(shù)”的單調(diào)性求最值，是有一定難度題目．