Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x|x|，若f（x²+2）+f（3x）＜0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題，可先用單調(diào)性的判斷規(guī)則判斷出單調(diào)性，利用奇偶性定義得出函數(shù)的奇偶性，由此將不等式f（x²+2）+f（3x）＜0轉(zhuǎn)化為x²+2＜-3x，解不等式即可得出所求．

解答： 解：由于函數(shù)y=x³與y=x|x|都是增函數(shù)，可得f（x）=x³+x|x|是增函數(shù)．
又f（-x）=-x³-x|x|=-（x³+x|x|）=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
故f（x²+2）+f（3x）＜0可變?yōu)閒（x²+2）＜f（-3x），
由單調(diào)性可得x²+2＜-3x，解得-2＜x＜-1
故答案為：（-2，-1）．

點(diǎn)評：本題考查單調(diào)必與奇偶性的判斷及利用單調(diào)性解抽象不等式，奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合是考試中的熱點(diǎn)問題，注意總結(jié)此類題的答題規(guī)律．